ผศ.ปรีชา เกรียงกรกฎ
ภาควิชาวิศวกรรมอุตสาหการ คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี
enpreekr@ubu.ac.th

เมื่อพูดถึงงานเศรษฐศาสตร์วิศวกรรมแล้ว ก็มักจะเป็นงานที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางการเงินในงานวิศวกรรมหรือโครงการต่าง ๆ ทางอุตสาหกรรม เช่น การวิเคราะห์การลงทุนในโครงการ, การหาระยะเวลาคืนทุนของโครงการ, การหาระยะเวลาที่ดีที่สุดในการเปลี่ยนเครื่องจักร เป็นต้น 

โดยผู้ที่ทำการวิเคราะห์หรือมีหน้าที่ที่ต้องตัดสินใจนั้น จะต้องเลือกในสิ่งที่คุ้มค่ากับเงินที่จะเสียไป อาจจะอยู่ในรูปมูลค่าเงินปัจจุบันที่มีกำไรมากที่สุด หรือมีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด, ระยะเวลาคืนทุนของโครงการที่เร็วที่สุด, หรือโครงการที่มีผลประโยชน์ตอบแทนมากที่สุด และอื่น ๆ ในลักษณะทำนองเช่นเดียวกันนี้ เป็นต้น

ข้อสังเกตหนึ่งในการศึกษางานเศรษฐศาสตร์วิศวกรรมโดยทั่วไปแล้วนั้น ค่าตัวเลขต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเงิน อาทิเช่น กระแสเงินสดรับหรือจ่าย, อัตราดอกเบี้ย จะเป็นค่าแบบแน่นอนเพียงค่าเดียว (Deterministic) เมื่อนำค่าที่แน่นอนเหล่านี้ไปวิเคราะห์คำนวณทางเศรษฐศาสตร์วิศวกรรมแล้ว จะได้คำตอบที่แน่นอนเพียงค่าเดียวเช่นกัน

แต่ถ้าพิจารณาในเชิงของความหมายแล้วจะพบว่าคำตอบที่แน่นอนเพียงค่าเดียวนั้น เป็นค่าที่ไม่แน่นอน หรือเป็นเพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น ดังนั้นถ้าต้องการให้ค่าที่ไม่แน่นอนนี้มีความแน่นอน หรือแม่นยำมากยิ่งขึ้น ก็ต้องใช้เทคนิควิธีการอื่นมาช่วย ซึ่งหนึ่งในวิธีการที่จะกล่าวต่อไปนี้ก็คือ ทฤษฎีคลุมเครือ (Fuzzy) เป็นทฤษฎีที่กล่าวถึงกรณีปัญหาที่มีความไม่แน่นอน

ทฤษฎีนี้ก็มีการนำไปประยุกต์ใช้ในงานต่าง ๆ มากมาย เช่น งานทางด้านไฟฟ้า, งานอิเล็กทรอนิกส์, งานจัดการด้านผลิตสินค้า เป็นต้น ซึ่งทฤษฎีคลุมเครือนี้ก็สามารถนำมาประยุกต์ใช้ในงานเศรษฐศาสตร์วิศวกรรมได้เช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้เห็นภาพและเข้าใจในเรื่องนี้มากยิ่งขึ้น ในบทความนี้จะมีการแสดงตัวอย่างการคำนวณประกอบด้วย

Zadeh L.A. (1965) เป็นคนนำเสนอทฤษฎี Fuzzy Sets เป็นคนแรก ซึ่งเป็นการเปลี่ยนความรู้สึกคลุมเครือ, ไม่แน่ใจของมนุษย์ ไปอยู่ในรูปแบบเชิงตัวเลข ซึ่งสามารถนำมาวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้ โดยตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของ Fuzzy มีอยู่หลายรูปแบบ ดังที่แสดงในรูปที่ 1 ดังนี้

รูปที่ 1 ตัวอย่างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของตัวแบบ Fuzzy Number

จากรูปที่ 1 ได้แสดงตัวอย่างตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของ Fuzzy จำนวน 7 รูปแบบ คือ
a) แบบคงที่ (Uniform)
b) แบบสามเหลี่ยม (Triangular Fuzzy Number; TFN)
c) แบบสามเหลี่ยมเอียงทางซ้าย (Left–Skew: TFN)
d) แบบสามเหลี่ยมเอียงทางขวา (Right–Skew: TFN)
e) แบบสี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezoidal Fuzzy Number: TrFN)
f) แบบสี่เหลี่ยมคางหมูเอียงทางซ้าย (Left–Skew: TrFN)
g) แบบสี่เหลี่ยมคางหมูเอียงทางขวา (Right–Skew: TrFN)

เนื่องจากรูปแบบ Fuzzy Number ที่นิยมนำมาใช้กันมาก ได้แก่ แบบสามเหลี่ยม (Triangular Fuzzy Number: TFN) ดังนั้นในบทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะแบบสามเหลี่ยมเท่านั้น ซึ่งมีรายละเอียดต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

รูปที่ 2 รูปแบบสามเหลี่ยม (Triangular Fuzzy Number: TFN)

จากรูปที่ 2 อธิบายได้ดังนี้
• แกน X แทนด้วยค่าใด ๆ ที่กำลังศึกษาหรือพิจารณาอยู่ สมมติเป็นค่า A
• ส่วนแกน Y แทนด้วยค่าความเป็นสมาชิก (Membership) ของค่า X ซึ่งจะมีค่าระหว่าง [0–1] ซึ่งจะมีความหมายคือโอกาสความน่าจะเป็น
• ค่าที่อยู่ในแกน X ของรูปแบบสามเหลี่ยมนี้ จะเป็นค่าที่เกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ โดยมีอยู่ 3 ค่า คือ

a₁ =   ค่าน้อยที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Smallest Possible Value)
a₂ =   ค่าที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด (Most Promising Value)
a₃ =   ค่ามากที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Largest Possible Value)

• ความสัมพันธ์ระหว่างแกน X กับแกน Y จะเป็นแบบเส้นตรง
• เมื่อพิจารณาค่า a₁ ไปหาค่า a₂ จะพบว่าโอกาสความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นเป็นแบบเส้นตรง
• เมื่อพิจารณาค่า a₂ ไปหาค่า a₃ จะพบว่าโอกาสความน่าจะเป็นจะลดลงเป็นแบบเส้นตรง
• นำมาหาความสัมพันธ์ จะได้

• จากสมการที่ (3) มีความหมายคือ
   ค่า A จะมีค่าอยู่ระหว่างค่า a₁ + (a₂ – a₁)  และค่า a₃ – (a₃ – a₂) 
   หรือ ค่า A ที่น้อยที่สุด ที่จะเป็นไปได้ มีค่าเท่ากับ a₁ + (a₂ – a₁)
   และค่า A ที่มากที่สุด ที่จะเป็นไปได้ มีค่าเท่ากับ a₃ – (a₃ – a₂)
   โดยที่ค่า  คือ ค่าความเป็นสมาชิก (Membership) ของค่า A มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1

ในการศึกษางานเศรษฐศาสตร์วิศวกรรม โดยทั่วไปแล้วกระแสเงินสดรับหรือจ่าย, อัตราดอกเบี้ย จะเป็นค่าแบบแน่นอนเพียงค่าเดียว (Deterministic) แต่ถ้าเป็นกรณีแบบไม่แน่นอน หรือคลุมเครือ (Fuzzy) แล้ว ค่าต่าง ๆ ดังกล่าวจะถูกแจกแจงออกเป็น 3 ค่า ตัวอย่างเช่น ถ้ากล่าวถึงอัตราดอกเบี้ย (r %) จะมีลักษณะดังนี้

แบบ Fuzzy จะมี 3 ค่า คือ
r₁ % = อัตราดอกเบี้ยที่น้อยที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Smallest Possible Value)
r₂ % = ค่าอัตราดอกเบี้ยที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด (Most Promising Value)
r₃ % = อัตราดอกเบี้ยที่มากที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Largest Possible Value)

ตัวอย่างเช่น อัตราดอกเบี้ยตลอด 3 ปีข้างหน้า
• อัตราดอกเบี้ยแบบ Deterministic จะมีเพียง 1 ค่า คือ r % = 5.50 %
• อัตราดอกเบี้ยแบบ Fuzzy จะมี 3 ค่า คือ
r₁ % = อัตราดอกเบี้ยที่น้อยที่สุด ที่จะเป็นไปได้ = 4.50 %
r₂ % = ค่าอัตราดอกเบี้ยที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด = 5.50 % 
r₃ % = อัตราดอกเบี้ยที่มากที่สุด ที่จะเป็นไปได้ = 6.50 %

หมายเหตุ อัตราดอกเบี้ยแบบ Deterministic นี้อาจจะนำเอาค่าของอัตราดอกเบี้ยแบบ Fuzzy ทั้ง 3 ค่าข้างต้น มาหาค่าเฉลี่ยก็ได้ ดังนี้
               R % = (4.50 + 5.50 + 6.50)/3 = 16.50/3 = 5.50 %

ซึ่งในกรณีนี้ จะเป็นการศึกษาเรื่อง TFN for Economic ดังนั้นจะนำค่าทั้ง 3 ค่าแบบ Fuzzy ข้างต้นนั้น ไปทำการคำนวณด้วยวิธีการ Fuzzy Mathematics ตามกรณีของปัญหาที่กำลังพิจารณา ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 Fuzzy Net Present Value of Uncertain Cash Flow
 ให้หามูลค่าเงินปัจจุบันของโครงการแห่งหนึ่ง ซึ่งมีรายละเอียดทางการเงินดังนี้
• เงินลงทุนเริ่มต้น (I) = (I₁, I₂, I₃) บาท
• มีรายรับในปีแรก (A) = (A₁, A₂, A₃) บาท
• รายรับในปีแรกนี้จะเพิ่มขึ้นทุกปี ด้วยอัตรา (d%) = (d₁, d₂, d₃) %
• อัตราดอกเบี้ยต่อปี (r %) =  (r₁, r₂, r₃) %
• อายุโครงการ (n) = 3 ปี
หมายเหตุ อัตรา (d %) อาจมีความหมายว่าอัตราเงินเฟ้อก็ได้ (Inflation Rate %)

รูปที่ 3 แสดง Cash Flow Diagram ของตัวอย่างที่ 1

มูลค่าเงินปัจจุบันที่ได้จากสูตรนี้จะอยู่ในรูปที่เรียกว่า Approximated Net Present Value หรือ ANPV ซึ่งจะมี 3 ค่าตามรูปแบบ triangular fuzzy number ดังนี้

ถ้าตัวอย่างโจทย์ปัญหาข้อนี้ มีตัวเลขการเงิน คือ
• เงินลงทุนเริ่มต้น (I) = (90, 100, 110) บาท
• มีรายรับในปีแรก (A) = (40, 60, 80) บาท
• รายรับในปีแรกนี้จะเพิ่มขึ้นทุกปี ด้วยอัตรา (d %) = (2, 2.5, 3) %
• อัตราดอกเบี้ยต่อปี (r %) =  (6, 7, 8) %
• อายุโครงการ (n) = 3 ปี

นั่นคือ
ANPV1 = มูลค่าเงินปัจจุบันที่น้อยที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Smallest Possible Value) = -4.95 บาท
ANPV2 = มูลค่าเงินปัจจุบันที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด (Most Promising Value) = 61.25 บาท
ANPV3 = มูลค่าเงินปัจจุบันที่มากที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Largest Possible Value) = 130.07 บาท
หรือ มูลค่าเงินปัจจุบันที่จะเป็นไปได้ทั้งหมด = (-4.95, 61.25, 130.07) บาท ตอบ

รูปที่ 4 แสดง Triangular Fuzzy Number (TFN) ของมูลค่าเงินปัจจุบันของตัวอย่างที่ 1

ข้อสังเกตสำหรับค่า ANPV1 หรือมูลค่าเงินปัจจุบันที่น้อยที่สุดที่จะเป็นไปได้ที่มีค่าเป็นลบนั้น (-4.95 บาท) มีความหมายคือ โครงการนี้มีความเป็นไปได้ที่จะขาดทุนนั่นเอง

จากตัวแบบในหัวข้อมูลค่าเงินปัจจุบันข้างต้น สามารถนำมาประยุกต์ใช้ในกรณีหาระยะเวลาคืนทุนต่อไปได้ ซึ่งจะเป็นการปรับมูลค่าเงินปัจจุบันในสมการที่ (4) ให้เป็นศูนย์ แล้วจัดรูปสมการใหม่จะได้

ระยะเวลาคืนทุนที่ได้จากสูตรนี้จะอยู่ในรูปที่เรียกว่า Approximated Pay Back Year หรือ APBY ซึ่งจะมี 3 ค่าตามรูปแบบ Triangular Fuzzy Number ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2 Fuzzy Pay Back Year of Uncertain Cash Flow

จงหาระยะเวลาคืนทุนของโครงการแห่งหนึ่ง ที่มีตัวเลขทางการเงินดังนี้
• เงินลงทุนเริ่มต้น (I) = (90, 100, 110) บาท
• มีรายรับในปีแรก (A) = (40, 60, 80) บาท
• รายรับในปีแรกนี้จะเพิ่มขึ้นทุกปี ด้วยอัตรา (d %) = (2, 2.5, 3) %
• อัตราดอกเบี้ยต่อปี (r %) =  (6, 7, 8) %

นั่นคือ
APBY1 = ระยะเวลาคืนทุนที่น้อยที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Smallest Possible Value) = 1.196 ปี
APBY2 = ระยะเวลาคืนทุนที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด (Most Promising Value) = 1.814 ปี
APBY3 = ระยะเวลาคืนทุนที่มากที่สุด ที่จะเป็นไปได้ (Largest Possible Value) = 3.155 ปี 
หรือ ระยะเวลาคืนทุนที่จะเป็นไปได้ทั้งหมด = (1.196, 1.184, 3.155) ปี ตอบ
ถ้านำระยะเวลาคืนทุนที่คำนวณได้นี้มาเขียนเป็นกราฟ จะได้ดังรูปที่ 5 ดังนี้

รูปที่ 5 แสดง Triangular Fuzzy Number (TFN) ของระยะเวลาคืนทุนของตัวอย่างที่ 2

ในบางครั้งเมื่อต้องมีการเลือกโครงการที่ดีที่สุดจากทางเลือกที่มีหลายโครงการนั้น ในแง่ของการวิเคราะห์การเงินแล้วก็จำเป็นที่จะต้องโครงการเหล่านั้นจะต้องถูกเปรียบเทียบในฐานเดียวกัน ในที่นี้จะใช้หลักการของมูลค่าเงินปัจจุบันและระยะเวลาคืนทุน โดยมีหลักการเลือกโครงการดังนี้

• วิธีมูลค่าเงินปัจจุบัน : ให้เลือกโครงการที่มีมูลค่าเงินปัจจุบัน มากที่สุด
• วิธีระยะเวลาคืนทุน: ให้เลือกโครงการที่มีระยะเวลาคืนทุนเร็วที่สุด หรือน้อยที่สุด
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการแสดงวิธีการเปรียบเทียบและเลือกโครงการ ในกรณีที่โครงการเป็นแบบ Fuzzy ดังนี้

วิธีทำ ในที่นี้จะวิเคราะห์ด้วยมูลค่าเงินปัจจุบัน และระยะเวลาคืนทุน
หาผลต่างของยอดขายและค่าใช้จ่ายในแต่ละปีของแต่ละโครงการ
          • ผลต่างยอดขายและค่าใช้จ่ายในแต่ละปีของโครงการ EC-TG
               = (210 – 130, 250 – 150, 280 - 170) = (80, 100, 110) ล้านบาทต่อปี
          • ผลต่างยอดขายและค่าใช้จ่ายในแต่ละปีของโครงการ BP-TG 
               = (160 – 110, 195 – 125, 220 - 140) = (50, 70, 80) ล้านบาทต่อปี

1.1) หา ANPV ของโครงการ EC-TG
แทนค่าตัวเลขทางการเงินลงในสมการที่ (7a) และ (7b) ข้างต้นจะได้

2) วิเคราะห์ด้วยวิธีระยะเวลาคืนทุน
ใช้สมการที่ (11a) และ (11b)

2.1) หา APBY ของโครงการ EC-TG
แทนค่าตัวเลขทางการเงินลงในสมการที่ (11a) และ (11b) ข้างต้นจะได้

2.2) หา APBY ของโครงการ BP-TG
แทนค่าตัวเลขทางการเงินลงในสมการที่ (11a) และ (11b) ข้างต้นอีกครั้งจะได้

3) สรุปผลการวิเคราะห์
จากผลการคำนวณข้างต้นสามารถสรุปเป็นตารางและรูปภาพได้ดังนี้

รูปที่ 6 แสดงการเปรียบเทียบ NPV Membership Function ของโครงการ EC-TG และโครงการ BP-TG

รูปที่ 7 แสดงการเปรียบเทียบ PBY Membership Function ของโครงการ EC-TG และโครงการ BP-TG

จากค่าในตารางและรูปภาพข้างต้น จะเห็นว่า มูลค่าเงินปัจจุบันของโครงการ EC-TG (555.46 ล้านบาท) มีค่ามากกว่าของโครงการ BP-TG (367.29 ล้านบาท) และระยะเวลาคืนทุนของโครงการ EC-TG (6.18 ปี) ก็มีระยะเวลาที่น้อยหรือเร็วกว่าของโครงการ BP-TG (7.01 ปี) ดังนั้นจึงควรเลือกโครงการ EC-TG ตอบ

การนำทฤษฎีคลุมเครือ (Fuzzy) ซึ่งเป็นทฤษฎีที่กล่าวถึงกรณีปัญหาที่มีความไม่แน่นอน มาประยุกต์ใช้ในงานเศรษฐศาสตร์วิศวกรรม จะทำให้การวิเคราะห์ปัญหามีความแน่นอน หรือแม่นยำมากยิ่งขึ้น โดยคำตอบที่ได้จากการคำนวณจะมี 3 ค่า คือ ค่าน้อยที่สุดที่จะเป็นไปได้, ค่าที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด, และค่ามากที่สุดที่จะเป็นไปได้ ทำให้ผู้ที่ทำการวิเคราะห์หรือผู้ที่มีหน้าที่รับผิดชอบโครงการ เห็นคำตอบของปัญหาได้อย่างครอบคลุม ชัดเจนขึ้น และทำให้การตัดสินใจในปัญหานั้น มีความมั่นใจและมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้นด้วยเช่นกัน

และนอกเหนือจากการนำทฤษฎีคลุมเครือ (Fuzzy) นี้ไปใช้ในกรณีหามูลค่าเงินปัจจุบัน และระยะเวลาคืนทุนของโครงการตามตัวอย่างข้างต้นแล้ว เรายังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ไขปัญหาในลักษณะอื่น ๆ ได้อีก เช่น การพิจารณางบประมาณเงินลงทุนในโครงการที่ไม่แน่นอน, การใช้อัตราส่วนผลประโยชน์ต่อค่าใช้จ่ายแบบทฤษฎีคลุมเครือในการเลือกโครงการ, การวิเคราะห์หามูลค่าเงินเทียบเท่ารายปีแบบทฤษฎีคลุมเครือ, หรือการหามูลค่าเงินในอนาคตกรณีที่มีความไม่แน่นอนเกิดขึ้น เป็นต้น

เอกสารอ้างอิง

1) วันชัย ริจิรวนิช และ ชอุ่ม พลอยมีค่า , “เศรษฐศาสตร์วิศวกรรม”, โรงพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2531.
2) ไพบูลย์ แย้มเผื่อน, “เศรษฐศาสตร์วิศวกรรม”, บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำกัด (มหาชน), 2542.
3) Blank, Leland T., and Tarquin, Anthony J., “Engineering Economy” 4th ed., Mc Graw – Hill Book Co., 1998.
4) Buckley, J.J. “The fuzzy mathematics of finance,” Fuzzy Sets and Systems. 21: 257-273; 1987.
5) Chiu, C.Y. and Park, C.S. “Fuzzy cash flow analysis using present worth criterion,” The Engineering Economist. 39: 113-138; 1994.
6) Chiu, C.Y. and Park, C.S. “Capital budgeting decisions with fuzzy projects,” The Engineering Economist. 43: 125-150; 1998.
7) Kahraman, C., Tolga, E. and Ulukan, Z.”Justification of manufacturing technologies using fuzzy benefit/cost ratio analysis,” International Journal of Production Economics. 66: 45-52; 2000.
8) Kahraman, C., Ruan, D. and Tolga, E. “Capital budgeting techniques using discounted fuzzy versus probabilistic cash flows,” Information Sciences. 142: 57-76; 2002.
9) Sheen, J.N. “Fuzzy evaluation of cogeneration alternatives in a petrochemical industry,” Computers & Mathematics with Applications. 49: 741-755; 2005.
10) Sheen, J.N. “Fuzzy financial profitability analyses of demand side management alternatives from participant perspective,” Information Sciences. 169: 329-364; 2005.
11) Zadeh, L.A. “Fuzzy sets,” Information and Control. 8: 338-353; 1965.